\documentclass[a4paper]{article}                % ein Header, den man recht schnell zu verstehen lernt.
\usepackage{epsfig,graphicx}                    % laedt die Graphikpackete hinzu
\usepackage[german]{babel}                      % deutsche Konvertierungen
\usepackage{amssymb}                            % z.B. fuer die reellen Zahlen
\pagenumbering{arabic}                          % Seitennummerierung mit arabischen Zahlen
\begin{document}                                % das eigentliche Dokument beginnt
  \setcounter{secnumdepth}{2}                   % setzt die Tiefe der Section-Nummerierung auf 2
  \setcounter{section}{0}                       % beginnt mit 2 statt mit 1 zu zaehlen
  \baselineskip0.7ex plus 0.1ex minus 0.1ex     % Abstand zwischen zwei Zeilen eines Absatzes
  \parskip1.6ex plus0.5ex minus0.5ex            % Der Abstand zwischen Absaetzen
  \parindent0em                                 % Der Betrag um den die erste Zeile eines Absatzes eingerueckt wird
  \section*{Persistencen in verschiedenen Basen}

 \small{\textbf{ Abstract.} Es werden Formeln f"ur die kleinsten Zahlen
 mit Persistence p zur Basis b angegeben. Diese sind allerdings
 erst ab bestimmeten Werten b g"ultig. Vollst"andige Auflistungen
 werden bis $p\leq 9$ gegeben. Weiterhin werden f"ur die ersten
 paar m"oglichen Basen systematisch die m"oglichen Persistencen
 untersucht. F"ur gr"o"sere Basen werden Heuristiken benutzt, um
 m"oglichst hohe Persistencen zu bekommen.}

 \normalsize{}
 \textbf{1. Einleitung.} Die Persistence(Ausdauer) einer Zahl wird durch
 einen iterativen Proze"s bestimmt. Die Funktion $d(n,b)$ bilde eine
 Zahl n auf das Produkt ihrer Ziffern in einer gegebenen Basis b
 ab. Also zum Beispiel $d(329,10)=3*2*9=54$, $d(54,10)=20$,
 $d(20,10)=0$. Die Persistence einer Zahl n zu einer gegebenen
 Basis b ist die kleinste Zahl h, f"ur die $d^h (n,b)$ eine einstellige
 Zahl ergibt (wobei die iterierte Funktion gemeint ist). Also
 $p(329,10)=3$ , weil $d^3 (329,10)=0$, aber $d^2 (329,10)=20$
 ist. Von Interesse ist weiterhin die maximal m"ogliche
 Persistence $p_{max}(b)$ zu einer gegebenen Basis b. Bisher
 bekannt waren nur $p_{max}(1)=0$ und $p_{max}(2)=1$. F"ur
 gr"ossere Basen sind bisher nur untere Schranken bekannt. Hier
 sollen ein paar dieser unteren Schranken nach oben geschoben
 werden. Es wird $p_{max}(3)=3$ vermutet. Grundlage dieser Vermutung
 ist, da"s $2^n$ f"ur $n>15$ mindestens eine 0 in der
 Darstellung im 3er-System besitzt. "Uberpr"uft wurde diese zweite
 Vermutung bis zu $n=500$ (Stand 1994 [3]). Der Autor hat dies f"ur alle $n\leq
 10^{11}$ verifiziert. Des weiteren wurden die minimalen Zahlen
 min(p,b) in der Basis b untersucht, die die Persistence p
 besitzen.

\textbf{2. Minimalen Zahlen mit Persistence p}

 F"ur $b\geq p!$ gilt:
\begin{equation}
min(p,b)=(p+1)b-\left\lfloor \frac{b}{p!} \right\rfloor
\end{equation}
\textbf{\textit{Beweis:}} F"ur $p=0$ stimmt die Gleichung
offenbar, da $min(0,b)=0$ wegen $p(0,b)=0$. $p=1$ kann
offensichtlich nur von mindestens zweistelligen Zahlen erreicht
werden. Da b die erste zweistellige Zahl ist, und $p(1,b)=1$ gilt,
gilt (1) auch f"ur $p=1$.

F"ur $p>1$ ist $min(p,b)$ eine zweistellige Zahl in der
Basis b. F"ur jede zweistellige Zahl n gilt: $d(n,b)$ besitzt eine
kleinere erste Ziffer als n.

Somit erkennt man den Satz aus folgender Persitenceberechnung in
der Darstellung zur Basis b.

$[p][b-a] \rightarrow  [p-1][b-ap] \rightarrow
[p-2][b-ap(p-1)]\rightarrow \ldots \rightarrow [1][b-a*p!]
\rightarrow [b-a*p!]$

Eine zweistellige Zahl, deren erste Ziffer kleiner p ist, kann
nach obiger Bemerkung nicht Persistence p besitzen. Ist weiter
$b-a*p!$ kleiner als 0, so liegt die Persistence ebenfalls
niedriger als p. Da das kleinste a f"ur das $b-a*p!\geq 0$ gilt,
durch $a=\left\lfloor \frac{b}{p!} \right\rfloor$ gegeben ist, ist
der Beweis abgeschlossen. $\square$

Damit ergibt sich eine erste, zugebenerma"sen sehr schwache,
Absch"atzung f"ur $p_{max}(b)$.
\begin{equation}
  p_{max}(b)\geq \sqrt{\ln b}
\end{equation}
\textbf{\textit{Beweis:}} Ergibt sich unmittelbar aus (1) und der
Stirling'schen Ungleichung f"ur $p!$. $\square$

F"ur $a|b$ gilt:
\begin{equation}
p_{max}(b)\geq\lfloor \log_a{b}+\log_a{(a-1)}  \rfloor
\end{equation}
\textbf{\textit{Beweis:}} Wir betrachteten folgende
Persistenceberechnung in der Basis b

$[c_n][\frac{b}{a}] \rightarrow [c_{n-1}][\frac{b}{a}] \rightarrow
 \ldots \rightarrow [c_2][\frac{b}{a}] \rightarrow [1][\frac{b}{a}]
\rightarrow [\frac{b}{a}]$

Mit $c_1=1$, $c_2=a+1$, $c_n=c_{n-1}*a+1$, und somit
$c_n=\frac{a^n-1}{a-1}$, ist obige Rechnung richtig, falls
$c_n\leq b-1 $. Setze $n=\lfloor \log_a{b}+\log_a{(a-1)}  \rfloor$

$c_n=\frac{a^n-1}{a-1}\leq
\frac{a^{\log_a{b}}a^{log_a{(a-1)}}-1}{a-1}=\frac{b(a-1)-1}{a-1}<b$
$\Rightarrow$ $c_n\leq b-1$ $\square$

Falls $2|b$ l"a"st sich (3) noch ein bi"schen verbessern, indem
man die Kette von $[1][0]$ statt von $[1][\frac{b}{a}]$ starten
l"a"st.


F"ur $b<p!$ gilt (1) nur als untere Schranke, die nicht erreicht
werden kann. Somit sind die entsprechenden Werte noch zu
bestimmen. Dies ist im Rahmen dieses Artikels f"ur alle $p\leq 9$
geschehen. F"ur $p=10$ m"u"sten bereits "uber 3.6 Millionen
$min(p,b)$-Werte bestimmt werden. An dieser Stelle sollen nur die
Werte f"ur $p\leq 5$ wiedergegeben werden, die restlichen sind
erh"altlich unter
http://www.stud.uni-bayreuth.de/~a8581/persistence/persistence.html
oder in 'The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences' [4] unter
den A-Nummern A064867 - A064872.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
  \hline
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\
  2 & - & 8 & 10 & 13 & 15 & 18 & 20 & 23 & 25 & 28 & 30\\
  3 & - & 26 & 63 & 68 & 23 & 27 & 31 & 35 & 39 & 43 & 46\\
  4 & - & ? & ? & 2344 & 172 & 131 & 174 & 52 & 77 & 75 & 83\\ \hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 \\
  \hline
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  1 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 \\
  2 & 33 & 35 & 38 & 40 & 43 & 45 & 48 & 50 & 53 & 55 & 58 & 60  \\
  3 & 50 & 54 & 58 & 62 & 66 & 69 & 73 & 77 & 81 & 85 & 89 & 92 \\
  4 & 75 & 81 & 89 & 95 & 101 & 104 & 110 & 133 & 143 & 127 & 133 & 119 \\ \hline
\end{tabular}

Alle Werte sind in Dezimaldarstellung.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
  \hline
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
  1 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\
  2 & - & 22 & 22 & 23 & 23 & 24 & 24 & 25 & 25 & 26 & 26 & 27\\
  3 & - & 222 & 233 & 233 & 35 & 36 & 37 & 38 & 39 & 3'10 & 3'10 & 3'11\\
  4 & - & ? & ? & 33334 & 444 & 245 & 256 & 57 & 77 & 69 & 12'11 & 5'10\\ \hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 \\
  \hline
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
  1 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 \\
  2 & 27 & 28 & 28 & 29 & 29 & 2'10 & 2'10 & 2'11 & 2'11 & 2'12 & 2'12  \\
  3 & 3'12 & 3'13 & 3'14 & 3'15 & 3'15 & 3'16 & 3'17 & 3'18 & 3'19 & 3'20 & 3'20 \\
  4 & 5'11 & 5'14 & 5'15 & 5'16' & 5'14 & 5'15 & 6'13 & 6'17 & 5'17 & 5'18 & 4'23 \\ \hline
\end{tabular}

Alle Werte in ihrer Basisdarstellung.

Die Reihe $min(b,5)$ f"ur $2\leq b\leq 120$  in
Dezimaldarstellung: -, ?, ?, 244140624, 3629, 1601, 1535, 394,
679, 317, 1099, 127, 135, 582, 187, 168, 157, 201, 159, 230, 215,
180, 185, 246, 181, 188, 195, 198, 323, 239, 255, 259, 267, 239,
287, 295, 293, 310, 313, 280, 377, 375, 395, 347, 360, 321, 370,
439, 431, 458, 355, 362, 376, 383, 390, 397, 396, 403, 477, 479,
478, 493, 437, 444, 509, 534, 534, 532, 478, 485, 555, 563, 579,
512, 519, 526, 543, 550, 557, 553, 560, 567, 585, 592, 599, 594,
601, 608, 629, 636, 643, 635, 642, 649, 671, 678, 669, 676, 683,
690, 713, 717, 710, 717, 724, 731, 752, 759, 751, 758, 765, 772,
794, 801, 792, 799, 806, 813, 719

Die Reihe min(b,5) f"ur $2\leq b\leq 120$ in Basisdarstellung: -,
?, ?, 444444444444, 24445, 4445, 2777, 477, 679, 269, 777, 9'10,
99, 2'8'12, 11'11, 9'15, 8'13, 10'11, 7'19, 10'20, 9'17, 7'19,
7'17, 9'21, 6'25, 6'26, 6'27, 6'24, 10'23, 7'22, 7'31, 7'28, 7'29,
6'29, 7'35, 7'36, 7'27, 7'37, 7'33, 6'34, 8'41, 8'31, 8'43, 7'32,
7'38, 6'39, 7'34, 8'47, 8'31, 8'50, 6'43, 6'44, 6'52, 6'53, 6'54,
6'55, 5'48, 6'49, 7'57, 7'52, 7'44, 7'52, 6'53, 6'54, 7'47, 7'65,
7'58, 7'49, 6'58, 6'59, 7'51, 7'52, 7'61, 6'62, 6'63, 6'64, 6'75,
6'76, 6'77, 6'67, 6'68, 6'69, 6'81, 6'82, 6'83, 6'72, 6'73, 6'74,
6'89, 6'90, 6'91, 6'77, 6'78, 6'79, 6'95, 6'96, 6'81, 6'82, 6'83,
6'84, 6'101, 6'99, 6'86, 6'87, 6'88, 6'89, 6'104, 6'105, 6'91,
6'92, 6'93, 6'94, 6'110, 6'111, 6'96, 6'97, 6'98, 6'99, 5'119,

Bemerkung: Ein - bedeutet, da"s dieser Wet bewiesenerma"sen nicht
existiert, und ein ? bedeutet, da"s der Wert h"ostwahrscheinlich
nicht existiert.


\textbf{3. Absch"atzungen von $p_{max}(b)$} \quad $p_{max}(1)=0$
und $p_{max}(2)=1$ wurde in der Einleitung ja schon erw"ahnt. F"ur
gr"ossere Basen gibt es nur untere Grenzen. N.J.A. Sloane vermutet
[1] , da"s $p_{max}(b)$ endlich ist. Im folgenden werden die
ersten paar Basen, und der entsprechende $p_{max}(b)$-Wert, n"aher
untersucht. In faktorieller Basis ist diese Vermutung allerdings
falsch [2].

Als Versch"arfung der Vermutung von N.J.A. Sloane wird vermutet,
da"s es zu jeder Basis $b$ eine Zahl $m(b)$ gibt, so da"s f"ur
alle Zahlen $n \geq m(b)$, die keine 1 in ihrer b-adischen
Entwicklung besitzen, $p(n,b)=2$ gilt.

Sei $\mathcal{R}$ die Menge der nat"urlichen Zahlen, deren Ziffern
in b-adischer Entwicklung aufsteigend sortiert sind, und die
weiterhin keine 1 enthalten. Als Plausibilisierung wird gezeigt,
da"s die reziproke Summe der Zahlen aus $\mathcal{R}$ mit
Persistence gr"o"ser 2 in jeder Basis b konvergiert. Unter der
Annahme der Gleichverteilung der Ziffern von Produkten der Form
$P=a_1^{b_1}a_2^{b_2}\cdots a_r^{b_r}$ mit $P$ teilerfremd zu $b$.

\begin{equation}
\sum_{p(n,b)>2,n\in \mathcal{R}} \frac{1}{n} \leq c_1
\end{equation}

\textbf{\textit{Beweis:}} Wir betrachten Produkte $m$ der Form
$2^{a_1}3^{a_2}\cdots (b-1)^{a_{b-1}}$. Jedem $n\in \mathcal{R}$,
mit $p(n,b)>1$, l"a"st sich das $m$ entsprechente $(b-1)$-Tupel
injektiv zuordnen (Die $a_i$ entsprechen den Ziffern von $n$.
Einsen k"onnen wegen der Definition von $\mathcal{R}$ nicht
auftreten, und das Auftreten einer 0 in der b-adischen Darstellung
f"uhrt zu $p(n,b)\leq 1$. Damit $p(n,b)>2$ gelten kann, darf die
b-adische Darstellung vom entsprechenden Produkt $m$ keine 0
enthalten. Hat $m$ z Ziffern, so betr"agt die Wahrscheinlichkeit,
da"s $m$ keine 0 enth"alt, unter obiger Vorraussetzung,
$({\frac{b-1}{b}})^z$. Sei $s=\sum_{i=1}^b-1{a_i}$, so gibt es zu
gegebenem $s$ h"ochstens $(b-1)^s$ unterschiedliche $(b-1)$-
Tupel. Da weiterhin f"ur die Anzahl der Ziffern $z\leq \frac{s
\ln{2}}{\ln{b}}$ gilt, kann man obige Summe wie folgt absch"atzen:
$\sum_{p(n,b)>2,n\in \mathcal{R}} \frac{1}{n} \leq
\sum_{s=1}^{\infty} s^{b-1} (\frac{b-1}{b})^{\frac{s
\ln{2}}{\ln{b}}}$. Und dies ist ein Ausdruck der Form
$\sum_{s=1}^{\infty}\frac{s^{b-1}}{c^s}$ mit $c>1$. Sei $m$ so
gew"ahlt, da"s f"ur alle $s>m$ :
$\frac{s^{b-1}}{c^s}\geq\frac{(s+1)^{b-1}}{c^{s+1}}$ und
$\frac{s^{b-1}}{c^s}\leq \frac{1}{2}$ gilt. Somit
$\sum_{p(n,b)>2,n\in \mathcal{R}}\frac{1}{n} \leq
\sum_{s=1}^{m}(s^{b-1} (\frac{b-1}{b})^{\frac{s
\ln{2}}{\ln{b}}})+\sum_{i=1}^{\infty}m{\frac{1}{2}}^i\leq c_1$
$\square$

\textbf{\textit{Bemerkung:}} Obige Vorraussetzung trifft zumindest
f"ur $b=3$ zu. Abgesehen von der letzen Ziffer treten alle
Ziffernkombinationen in den letzen Ziffern auf. Genauer hat $2$ in
$\mathbb{Z}/3^n\mathbb{Z}$ die Ordnung $2\cdot 3^{n-1}$. Die
endliche Anzahl an Ausnahme-Ziffern, hier eine, hat bei obigem
Beweis keine wesentliche Auswirkung.

\textbf{3. 1 $p_{max}(3)=3$ ?}

$min(3,0)=0_3=0$, $min(3,1)=10_3=3$, $min(3,2)=22_3=8$,
$min(3,3)=222_3=26$

Um die obige Vermutung empirirsch zu "uberpr"ufen braucht man nur
die Persistence aller Zahlen der Form $2^n$ zu bestimmen. Es wird
vermutet, da"s $2^n$ f"ur $n>15$ im 3er-System mindestens eine
Null enth"alt. Dies war 1994 [3] f"ur alle $n\leq500$ abgesichert.
Falls $2^n$ eine Null in der Darstellung enth"alt, so betr"agt die
Persistence der aus n Zweien gebildeten Zahl 2. Woraus
$p_{max}(3)=3$ folgen w"urde.

Die numerische Schranke von $n\leq 500$ wurde im Rahmen dieser
Arbeit auf $n\leq 10^{11}$ verschoben. Diese Aussage wurde unter
Benutzung eines Computers erzielt. Um die Aussage zu treffen ist
nicht die gesamte Ziffernsequenz von $2^n$ n"otig, diese w"urde
z.B. bei $2^{10^{10}}$ auch mehr als 1 Gigabyte an Speicherplatz
ben"otigen. Um den Speicherplatz zu begrenzen, und vor allem um
die Rechnung auf einem handels"ublichen Rechner in annehmbarer
Zeit durchf"uhren zu k"onnen, wurden nur die letzten 100 Ziffern
im 3er-System betrachtet. Im betrachteten Intervall trat die erste
Null vor der 80 Stelle auf. Wenn man dies mit den "uber
$3*10^{10}$ Stellen von $2^{10^{11}}$ vergleicht, erscheint die
obige Vermutung ziemlich sicher. Doch eine Beweisidee scheint nun
immer noch nicht in Sicht.

\textbf{3. 2 $p_{max}(4)=3$ ?}

$min(4,0)=0_4=0$, $min(4,1)=10_4=4$, $min(4,2)=22_4=10$,
$min(4,3)=233_4=63$

Es brauchen nur Zahlen der Form $3^n$ oder der Form $2\cdot 3^n$
"uberpr"uft zu werden, da schon 2 Zweien f"ur eine Null sorgen.
Diese Zahlen d"urfen nicht nur keine Null enthalten, sondern auch
h"ochstens eine Zwei. "Uberpr"uft wurde die Vermutung f"ur alle
$n\leq 4*10^{10}$. Das gr"o"ste n, bei dem die obigen Kriterien
nicht zutrafen betr"agt 11. N"otig f"ur die "Uberpr"ufung waren
nur die letzten 50 Stellen.


\textbf{3. 3 $p_{max}(5)=6$ ?}

$min(5,0)=0_5=0$, $min(5,1)=10_5=5$, $min(5,2)=23_5=13$,
$min(5,3)=233_5=68$, $min(5,4)=33334_5=2344$,
$min(5,5)=444444444444_5=244140624$,
$min(5,6)=3344444444444444444444_5=1811981201171874$

Die zwei letzen Beispiele erfordern eine kompaktere Notation. Die
Standardnotation enh"alt jede der verschiedenen Ziffern von n nur
ein einziges Mal, und deren Anzahl als Exponent. Also
$min(5,6)=(3^24^{20})_S$ und $min(5,5)=(4^{12})_S$.

Untersucht werden m"ussen Zahlen der Formen $3^a 4^b$ oder $2\cdot
3^a 4^b$. Als Kriterium dient nur das 0er-Kriterium, da 5 eine
Primzahl ist. Maximales $a+b$, bei dem das Kriterium nicht
zugetroffen hat war 47. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen
mit $a+b\leq 50.000$. N"otig waren nur 100 Stellen.

\textbf{3. 4 $p_{max}(6)=5$ ?}

$min(6,0)=0_6=0$, $min(6,1)=10_6=6$, $min(6,2)=23_6=15$,
$min(6,3)=35_6=23$, $min(6,4)=444_6=172$, $min(6,5)=24445_6=3629$

Untersucht werden m"ussen Zahlen der Formen $2^a 5^b$ oder
$3^a5^b$. Die entstehende Zahl darf keine Null, und auch nicht
gleichzeitig eine gerade Ziffer und eine 3 besitzen. Maximales
$a+b$, bei dem das 0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 65.
Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit $a+b\leq 50000$.
N"otig waren nur 80 Stellen.

\textbf{3. 5 $p_{max}(7)=8$ ?}

$min(7,0)=0_7=0$, $min(7,1)=10_7=7$, $min(7,2)=24_7=18$,
$min(7,3)=36_7=27$, $min(7,4)=245_7=131$, $min(7,5)=4445_7=1601$,
$min(7,6)=44556_7=11262$, $min(7,7)=5555555_7=686285$,
$min(7,8)=(2\cdot 3^34^45^{12})_S=28502779092075657$

Untersucht werden m"ussen Zahlen der Formen $3^a 4^b 5^c$ oder
$2\cdot 3^a 4^b 5^c$. Die entstehende Zahl darf keine Null
besitzen. Maximales $a+b+c$, bei dem das Kriterium nicht
zugetroffen hat war, 124. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen
mit $a+b+c\leq 1000$. N"otig waren nur 144 Stellen.

\textbf{3. 6 $p_{max}(8)=6$ ?}

$min(8,0)=0_8=0$, $min(8,1)=10_8=8$, $min(8,2)=24_8=20$,
$min(8,3)=37_8=31$, $min(8,4)=256_8=174$, $min(8,5)=2777_8=1535$,
$min(8,6)=(3^3 5^4 7^2)_S=57596799$

Untersucht werden m"ussen Zahlen der Formen $3^a 5^b 7^c$, $2\cdot 3^a
5^b 7^c$ oder $3^a4\cdot 5^b 7^c$. Die entstehende Zahl darf keine Null,
und h"ochstens 2 gerade Ziffern besitzen. Maximales $a+b+c$, bei dem das
0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 139. Untersucht wurden alle
Zahlen der Formen mit $a+b\leq 1000$. N"otig waren nur 35 Stellen.

\textbf{3. 7 $p_{max}(9)=7$ ?}

$min(9,0)=0_9=0$, $min(9,1)=10_9=9$, $min(9,2)=25_9=23$,
$min(9,3)=38_9=35$, $min(9,4)=57_9=52$, $min(9,5)=477_9=394$,
$min(9,6)=45788_9=30536$ $min(9,7)=2577777_9=1409794$

Untersucht werden m"ussen Zahlen der Formen $5^a 7^b 8^c$, $2\cdot
5^a 7^b 8^c$, $3\cdot 5^a 7^b 8^c$, $4\cdot 5^a 7^b 8^c$ oder
$2\cdot 5^a\cdot 6 7^b 8^c$. Die entstehende Zahl darf keine
Null, und h"ochstens eine durch 3 teilbare Ziffer (3,6) besitzen. Maximales $a+b+c$, bei
dem das 0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 152. Untersucht wurden
alle Zahlen der Formen mit $a+b+c\leq 1000$. N"otig waren nur 60
Stellen.

\textbf{3. 8 $p_{max}(10)=11$ ?}

$min(10,0)=0$, $min(10,1)=10$, $min(10,2)=25$, $min(10,3)=39$,
$min(10,4)=77$, $min(10,5)=679$, $min(10,6)=6788$,
$min(10,7)=68889$, $min(10,8)=2677889$, $min(10,9)=26888999$,
$min(10,10)=3778888999$, $min(10,11)=(2^1 7^6 8^6 9^2)_S$

In [1] wurde die Vermutung f"ur alle $n<10^{50}$ gezeigt.
Untersucht werden m"ussen Zahlen der Formen $7^a 8^b 9^c$, $2\cdot
7^a 8^b 9^c$, $3\cdot 7^a 8^b 9^c$, $4\cdot 7^a 8^b 9^c$, $2\cdot
6 \cdot 7^a 8^b 9^c$, $5^a 7^b 9^c$ oder $3\cdot 5^a 7^b 9^c$ .
Die entstehende Zahl darf keine Null, und nicht gleichzeitig eine
gerade Ziffer und eine 5 besitzen. Maximales $a+b+c$, bei dem das
0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 155. Untersucht wurden
alle Zahlen der Formen mit $a+b+c\leq 3000$. N"otig waren nur 115
Stellen.

\textbf{4. Wachstum von $p_{max}(b)$}

\begin{tabular}{c c}
  \begin{tabular}{|c|c|c|}
    % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
    \hline
    Basis & Beispiel & $p_{max}(b)$ \\ \hline
    2 & 10 & 1 \\
    3 & $2^3$ & 3 \\
    4 & $3^3$ & 3 \\
    5 & $3^2*2^{40}$ & 6 \\
    6 & $5^1*2^7$ & 5 \\
    7 & $3^{44}*2^1$ & 8 \\
    8 & $7^2*5^4*3^3$ & 6 \\
    9 & $7^1*5^1*2^{24}$ & 7 \\
    10 & $7^5*3^{20}*2^4$ & 11 \\
    11 & $5^{23}*3^{11}*2^{23}$ & 12\\
    12 & $11^9*5^8*2^5$ & 7 \\
    13 & $11^9*7^{17}*5^7*3^{16}$ & 14 \\
    14 & $11^1*3^{18}*2^{32}$ & 12 \\
    15 & $13^1*11^5*7^{14}$ & 14 \\
    16 & $7^3*5^2*3^7$ & 8 \\
    17 & $13^{14}*5^{90}*2^{44}$ & 17 \\
    18 & $17^1*5^6*2^6$ & 10 \\
    19 & $7^6*5^{59}*3^{11}*2^{69}$ & 18 \\
    20 & $13^2*11^7*3^1$ & 12 \\
    21 & $19^6*5^1*3^{22}$ & 14 \\
    22 & $13^3*5^{13}*3^{21}$ & 14 \\
    23 & $7^{15}*5^{18}*3^{46}*2^7$ & 19 \\
    24 & $19^3*5^1*2^{14}$ & 10 \\
    25 & $3^{15}*2^{24}$ & 14 \\ \hline
  \end{tabular}
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
    % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
    \hline
    Basis & Beispiel & $p_{max}(b)$ \\ \hline
    26 & $17^4*3^{77}*2^{26}$ & 18 \\
    27 & $19^2*11^4*7^8$ & 12 \\
    28 & $5^{13}*3^8*2^{31}$ & 16 \\
    29 & $23^{12}*11^{40}*2^{77}$ & 24 \\
    30 & $7^2*3^{12}*2^{13}$ & 13 \\
    31 & $11^{118}*5^2*2^{18}$ & 22 \\
    32 & $7^4*3^6$ & 11 \\
    33 & $7^9*3^{49}*2^{65}$ & 17 \\
    34 & $31^2*19^{35}*3^{34}$ & 20 \\
    35 & $19^{15}*5^6*2^4$ & 16 \\
    36 & $23^5*19^3*11^3$ & 12 \\
    37 & $13^{97}*11^6*2^{40}$ & 24 \\
    38 & $37^{22}*13^{45}*2^{46}$ & 22 \\
    39 & $5^4*3^{28}*2^{69}$ & 19 \\ \hline
    64 & $17^3*5^{12}$ & 13 \\
    81 & $11^9*5^3*2^6$ & 15 \\
    125 & $7^3*3^{10}*2^{62}$ & 19 \\
    128 & $11^3*5^6*2^1$ & 14 \\
    243 & $13^3*3^1*2^{50}$ & 19 \\
    256 & $11^2*7^6*5^2$ & 15 \\
    512 & $11^6*7^8*3^9$ & 16 \\
    625 & $11^{10}*3^{20}*2^{28}$ & 24 \\
    729 & $13^{18}*7^4*2^7$ & 21 \\
    1024 & $5^5*3^{16}$ & 18 \\ \hline
  \end{tabular}
\end{tabular}

Die Tabelle zeigt einen Zusammenhang zwischen $p_{max}(b)$ und der
Anzahl der Primfaktoren von b. Primzahlen erhalten im Vergleich
die h"oheren Werte. Dies steht in einem gewissen Gegensatz zu (3),
da dort gerade f"ur Primzahlen nur sehr schlechte untere Schranken
gegeben werden, die obige Tabelle aber zeigt, da"s die unteren
Schranken h"oher als bei zusammengesetzten Zahlen liegen

\textbf{5. Danksagungen}

\textbf{6. Literaturverzeichnis}

[1] N.J.A. Sloane, The persistence of a number, J. Recreational
Math. 6(1973), 97-98

[2] Mark R. Diamond, Daniel D. Reidpath, A counterexample to a
conjucture of Sloane and Erd"os, J. Recreational Math. 1998 29(2),
89-92

[3] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd
Edition, 1994

[4] N.J.A. Sloane (2001), The On-Line Encyclopedia of Integer
Sequences, published electronically at
     http://www.research.att.com/~njas/sequences/.



\end{document}
