Persistencen in verschiedenen Basen

Abstract. Es werden Formeln für die kleinsten Zahlen mit Persistence p zur Basis b angegeben. Diese sind allerdings erst ab bestimmeten Werten b gültig. Vollständige Auflistungen werden bis p ≤ 9 gegeben. Weiterhin werden für die ersten paar möglichen Basen systematisch die möglichen Persistencen untersucht. Für größere Basen werden Heuristiken benutzt, um möglichst hohe Persistencen zu bekommen.

1. Einleitung. Die Persistence(Ausdauer) einer Zahl wird durch einen iterativen Prozeß bestimmt. Die Funktion d(n, b) bilde eine Zahl n auf das Produkt ihrer Ziffern in einer gegebenen Basis b ab. Also zum Beispiel d(329, 10) = 3 ∗ 2 ∗ 9 = 54, d(54, 10) = 20, d(20, 10) = 0. Die Persistence einer Zahl n zu einer gegebenen Basis b ist die kleinste Zahl h, für die d^{h}(n, b) eine einstellige Zahl ergibt (wobei die iterierte Funktion gemeint ist). Also p(329, 10) = 3 , weil d^{3}(329, 10) = 0, aber d^{2}(329, 10) = 20 ist. Von Interesse ist weiterhin die maximal mögliche Persistence p_{max}(b) zu einer gegebenen Basis b. Bisher bekannt waren nur p_{max}(1) = 0 und p_{max}(2) = 1. Für grössere Basen sind bisher nur untere Schranken bekannt. Hier sollen ein paar dieser unteren Schranken nach oben geschoben werden. Es wird p_{max}(3) = 3 vermutet. Grundlage dieser Vermutung ist, daß 2^{n} für n > 15 mindestens eine 0 in der Darstellung im 3er-System besitzt. Überprüft wurde diese zweite Vermutung bis zu n = 500 (Stand 1994 [3]). Der Autor hat dies für alle n ≤ 10^{11} verifiziert. Des weiteren wurden die minimalen Zahlen min(p,b) in der Basis b untersucht, die die Persistence p besitzen.

2. Minimalen Zahlen mit Persistence p

Für b ≥ p! gilt:

min(p, b) = (p + 1)b − ⌊\frac{b}{p!}⌋  (1)

Beweis: Für p = 0 stimmt die Gleichung offenbar, da min(0, b) = 0 wegen p(0, b) = 0. p = 1 kann offensichtlich nur von mindestens zweistelligen Zahlen erreicht werden. Da b die erste zweistellige Zahl ist, und p(1, b) = 1 gilt, gilt (1) auch für p = 1.

Für p > 1 ist min(p, b) eine zweistellige Zahl in der Basis b. Für jede zweistellige Zahl n gilt: d(n, b) besitzt eine kleinere erste Ziffer als n.

Somit erkennt man den Satz aus folgender Persitenceberechnung in der Darstellung zur Basis b.

[p][b−a] → [p−1][b−ap] → [p−2][b−ap(p−1)] → … → [1][b−a∗p!] → [b−a∗p!]

Eine zweistellige Zahl, deren erste Ziffer kleiner p ist, kann nach obiger Bemerkung nicht Persistence p besitzen. Ist weiter b − a ∗ p! kleiner als 0, so liegt die Persistence ebenfalls niedriger als p. Da das kleinste a für das b − a ∗ p! ≥ 0 gilt, durch a = ⌊\frac{b}{p!}⌋ gegeben ist, ist der Beweis abgeschlossen. □

Damit ergibt sich eine erste, zugebenermaßen sehr schwache, Abschätzung für p_{max}(b).

p_{max}(b) ≥ \sqrt{ln b}  (2)

Beweis: Ergibt sich unmittelbar aus (1) und der Stirling’schen Ungleichung für p!. □

Für a|b gilt:

p_{max}(b) ≥ ⌊log_{a} b + log_{a} (a − 1)⌋  (3)

Beweis: Wir betrachteten folgende Persistenceberechnung in der Basis b

[c_{n}][\frac{b}{a}] → [c_{n−1}][\frac{b}{a}] → … → [c_{2}][\frac{b}{a}] → [1][\frac{b}{a}] → [\frac{b}{a}]

Mit c_{1} = 1, c_{2} = a + 1, c_{n} = c_{n−1} ∗ a + 1, und somit c_{n} = \frac{a^{n}−1}{a−1}, ist obige Rechnung richtig, falls c_{n} ≤ b − 1. Setze n = ⌊log_{a} b + log_{a} (a − 1)⌋

c_{n} = \frac{a^{n}−1}{a−1} ≤ \frac{a^{log_{a} b}a^{loga(a−1)}−1}{a−1} = \frac{b(a−1)−1}{a−1} < b ⇒ c_{n} ≤ b − 1 □

Falls 2|b läßt sich (3) noch ein bißchen verbessern, indem man die Kette von [1][0] statt von [1][\frac{b}{a}] starten läßt.

Für b < p! gilt (1) nur als untere Schranke, die nicht erreicht werden kann. Somit sind die entsprechenden Werte noch zu bestimmen. Dies ist im Rahmen dieses Artikels für alle p ≤ 9 geschehen. Für p = 10 müßten bereits über 3.6 Millionen min(p, b)-Werte bestimmt werden. An dieser Stelle sollen nur die Werte für p ≤ 5 wiedergegeben werden, die restlichen sind erhältlich unter http://www.stud.uni-bayreuth.de/ a8581/persistence/persistence.html oder in ’The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences’ [4] unter den A-Nummern A064867 - A064872.

2 3 4  5  6  7  8 9 10 11 12
0 0 0 0  0  0  0  0 0 0 0 0
1 2 3 4  5  6  7  8 9 10 11 12
2 - 8 10 13 15 18 20 23 25 28 30
3 - 26 63 68 23 27 31 35 39 43 46
4 - ? ? 2344 172 131 174 52 77 75 83
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
2 33 35 38 40 43 45 48 50 53 55 58 60
3 50 54 58 62 66 69 73 77 81 85 89 92
4 75 81 89 95 101 104 110 133 143 127 133 119

Alle Werte sind in Dezimaldarstellung.

2 3  4  5  6  7  8 9 10 11  12  13
0 0 0  0  0  0  0  0 0 0  0  0  0
1 10 10 10  10  10 10 10 10 10 10  10  10
2 - 22 22  23  23 24 24 25 25 26  26  27
3 - 222 233 233 35 36 37 38 39 3’10 3’10 3’11
4 -  ?  ? 33334 444 245 256 57 77 69 12’11 5’10
14 15 16  17  18 19 20 21 22 23 24
0 0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0
1 10 10 10  10  10 10 10 10 10 10 10
2 27 28 28  29  29 2’10 2’10 2’11 2’11 2’12 2’12
3 3’12 3’13 3’14 3’15 3’15 3’16 3’17 3’18 3’19 3’20 3’20
4 5’11 5’14 5’15 5’16’ 5’14 5’15 6’13 6’17 5’17 5’18 4’23

Alle Werte in ihrer Basisdarstellung.

Die Reihe min(b, 5) für 2 ≤ b ≤ 120 in Dezimaldarstellung: -, ?, ?, 244140624, 3629, 1601, 1535, 394, 679, 317, 1099, 127, 135, 582, 187, 168, 157, 201, 159, 230, 215, 180, 185, 246, 181, 188, 195, 198, 323, 239, 255, 259, 267, 239, 287, 295, 293, 310, 313, 280, 377, 375, 395, 347, 360, 321, 370, 439, 431, 458, 355, 362, 376, 383, 390, 397, 396, 403, 477, 479, 478, 493, 437, 444, 509, 534, 534, 532, 478, 485, 555, 563, 579, 512, 519, 526, 543, 550, 557, 553, 560, 567, 585, 592, 599, 594, 601, 608, 629, 636, 643, 635, 642, 649, 671, 678, 669, 676, 683, 690, 713, 717, 710, 717, 724, 731, 752, 759, 751, 758, 765, 772, 794, 801, 792, 799, 806, 813, 719

Die Reihe min(b,5) für 2 ≤ b ≤ 120 in Basisdarstellung: -, ?, ?, 444444444444, 24445, 4445, 2777, 477, 679, 269, 777, 9’10, 99, 2’8’12, 11’11, 9’15, 8’13, 10’11, 7’19, 10’20, 9’17, 7’19, 7’17, 9’21, 6’25, 6’26, 6’27, 6’24, 10’23, 7’22, 7’31, 7’28, 7’29, 6’29, 7’35, 7’36, 7’27, 7’37, 7’33, 6’34, 8’41, 8’31, 8’43, 7’32, 7’38, 6’39, 7’34, 8’47, 8’31, 8’50, 6’43, 6’44, 6’52, 6’53, 6’54, 6’55, 5’48, 6’49, 7’57, 7’52, 7’44, 7’52, 6’53, 6’54, 7’47, 7’65, 7’58, 7’49, 6’58, 6’59, 7’51, 7’52, 7’61, 6’62, 6’63, 6’64, 6’75, 6’76, 6’77, 6’67, 6’68, 6’69, 6’81, 6’82, 6’83, 6’72, 6’73, 6’74, 6’89, 6’90, 6’91, 6’77, 6’78, 6’79, 6’95, 6’96, 6’81, 6’82, 6’83, 6’84, 6’101, 6’99, 6’86, 6’87, 6’88, 6’89, 6’104, 6’105, 6’91, 6’92, 6’93, 6’94, 6’110, 6’111, 6’96, 6’97, 6’98, 6’99, 5’119,

Bemerkung: Ein - bedeutet, daß dieser Wet bewiesenermaßen nicht existiert, und ein ? bedeutet, daß der Wert höstwahrscheinlich nicht existiert.

3. Abschätzungen von p_{max}(b) p_{max}(1) = 0 und p_{max}(2) = 1 wurde in der Einleitung ja schon erwähnt. Für grössere Basen gibt es nur untere Grenzen. N.J.A. Sloane vermutet [1] , daß p_{max}(b) endlich ist. Im folgenden werden die ersten paar Basen, und der entsprechende p_{max}(b)-Wert, näher untersucht. In faktorieller Basis ist diese Vermutung allerdings falsch [2].

Als Verschärfung der Vermutung von N.J.A. Sloane wird vermutet, daß es zu jeder Basis b eine Zahl m(b) gibt, so daß für alle Zahlen n ≥ m(b), die keine 1 in ihrer b-adischen Entwicklung besitzen, p(n, b) = 2 gilt.

Sei R die Menge der natürlichen Zahlen, deren Ziffern in b-adischer Entwicklung aufsteigend sortiert sind, und die weiterhin keine 1 enthalten. Als Plausibilisierung wird gezeigt, daß die reziproke Summe der Zahlen aus R mit Persistence größer 2 in jeder Basis b konvergiert. Unter der Annahme der Gleichverteilung der Ziffern von Produkten der Form P = a_{1}^{b_{1}}a_{2}^{b_{2}} ⋯ a_{r}^{b_{r}} mit P teilerfremd zu b.

∑_{p(n,b)>2,n∈R} \frac{1}{n} ≤ c_{1}  (4)

Beweis: Wir betrachten Produkte m der Form 2^{a_{1}}3^{a_{2}} ⋯ (b − 1)^{a_{b−1}}. Jedem n ∈ R, mit p(n, b) > 1, läßt sich das m entsprechente (b − 1)-Tupel injektiv zuordnen (Die a_{i} entsprechen den Ziffern von n. Einsen können wegen der Definition von R nicht auftreten, und das Auftreten einer 0 in der b-adischen Darstellung führt zu p(n, b) ≤ 1. Damit p(n, b) > 2 gelten kann, darf die badische Darstellung vom entsprechenden Produkt m keine 0 enthalten. Hat m z Ziffern, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, daß m keine 0 enthält, unter obiger Vorraussetzung, (\frac{b−1}{b})^{z}. Sei s = ∑_{i=1}^{b} −1a_{i}, so gibt es zu gegebenem s höchstens (b − 1)^{s} unterschiedliche (b − 1)- Tupel. Da weiterhin für die Anzahl der Ziffern z ≤ \frac{s ln 2}{ln b} gilt, kann man obige Summe wie folgt abschätzen: ∑_{p(n,b)>2,n∈R} \frac{1}{n} ≤

∑_{s=1}^{∞} s^{b−1}(\frac{b−1}{b})^{\frac{s ln 2}{ln b}}. Und dies ist ein Ausdruck der Form ∑_{s=1}^{∞} \frac{s^{b−1}}{c^{s}} mit c > 1.

Sei m so gewählt, daß für alle s > m : \frac{s^{b−1}}{c^{s}} ≥ \frac{(s+1)^{b−1}}{c^{s+1}} und \frac{s^{b−1}}{c^{s}} ≤ \frac{1}{2} gilt. Somit ∑_{p(n,b)>2,n∈R} \frac{1}{n} ≤ ∑_{s=1}^{m}(s^{b−1}(\frac{b−1}{b})^{\frac{s ln 2}{ln b}}) + ∑_{i=1}^{∞} m\frac{1}{2}^{i} ≤ c_{1} □

Bemerkung: Obige Vorraussetzung trifft zumindest für b = 3 zu. Abgesehen von der letzen Ziffer treten alle Ziffernkombinationen in den letzen Ziffern auf. Genauer hat 2 in ℤ/3^{n}ℤ die Ordnung 2 · 3^{n−1}. Die endliche Anzahl an Ausnahme-Ziffern, hier eine, hat bei obigem Beweis keine wesentliche Auswirkung.

3. 1 p_{max}(3) = 3 ?

min(3, 0) = 0_{3} = 0, min(3, 1) = 10_{3} = 3, min(3, 2) = 22_{3} = 8, min(3, 3) = 222_{3} = 26

Um die obige Vermutung empirirsch zu überprüfen braucht man nur die Persistence aller Zahlen der Form 2^{n} zu bestimmen. Es wird vermutet, daß 2^{n} für n > 15 im 3er-System mindestens eine Null enthält. Dies war 1994 [3] für alle n ≤ 500 abgesichert. Falls 2^{n} eine Null in der Darstellung enthält, so beträgt die Persistence der aus n Zweien gebildeten Zahl 2. Woraus p_{max}(3) = 3 folgen würde.

Die numerische Schranke von n ≤ 500 wurde im Rahmen dieser Arbeit auf n ≤ 10^{11} verschoben. Diese Aussage wurde unter Benutzung eines Computers erzielt. Um die Aussage zu treffen ist nicht die gesamte Ziffernsequenz von 2^{n} nötig, diese würde z.B. bei 2^{10^{10}} auch mehr als 1 Gigabyte an Speicherplatz benötigen. Um den Speicherplatz zu begrenzen, und vor allem um die Rechnung auf einem handelsüblichen Rechner in annehmbarer Zeit durchführen zu können, wurden nur die letzten 100 Ziffern im 3er-System betrachtet. Im betrachteten Intervall trat die erste Null vor der 80 Stelle auf. Wenn man dies mit den über 3 ∗ 10^{10} Stellen von 2^{10^{11}} vergleicht, erscheint die obige Vermutung ziemlich sicher. Doch eine Beweisidee scheint nun immer noch nicht in Sicht.

3. 2 p_{max}(4) = 3 ?

min(4, 0) = 0_{4} = 0, min(4, 1) = 10_{4} = 4, min(4, 2) = 22_{4} = 10, min(4, 3) = 233_{4} = 63

Es brauchen nur Zahlen der Form 3^{n} oder der Form 2 · 3^{n} überprüft zu werden, da schon 2 Zweien für eine Null sorgen. Diese Zahlen dürfen nicht nur keine Null enthalten, sondern auch höchstens eine Zwei. Überprüft wurde die Vermutung für alle n ≤ 4 ∗ 10^{10}. Das größte n, bei dem die obigen Kriterien nicht zutrafen beträgt 11. Nötig für die Überprüfung waren nur die letzten 50 Stellen.

3. 3 p_{max}(5) = 6 ?

min(5, 0) = 0_{5} = 0, min(5, 1) = 10_{5} = 5, min(5, 2) = 23_{5} = 13, min(5, 3) = 233_{5} = 68, min(5, 4) = 33334_{5} = 2344, min(5, 5) = 444444444444_{5} = 244140624, min(5, 6) = 3344444444444444444444_{5} = 1811981201171874

Die zwei letzen Beispiele erfordern eine kompaktere Notation. Die Standardnotation enhält jede der verschiedenen Ziffern von n nur ein einziges Mal, und deren Anzahl als Exponent. Also min(5, 6) = (3^{2}4^{20})_{S} und min(5, 5) = (4^{12})_{S}.

Untersucht werden müssen Zahlen der Formen 3^{a}4^{b} oder 2 · 3^{a}4^{b}. Als Kriterium dient nur das 0er-Kriterium, da 5 eine Primzahl ist. Maximales a + b, bei dem das Kriterium nicht zugetroffen hat war 47. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit a + b ≤ 50.000. Nötig waren nur 100 Stellen.

3. 4 p_{max}(6) = 5 ?

min(6, 0) = 0_{6} = 0, min(6, 1) = 10_{6} = 6, min(6, 2) = 23_{6} = 15, min(6, 3) = 35_{6} = 23, min(6, 4) = 444_{6} = 172, min(6, 5) = 24445_{6} = 3629

Untersucht werden müssen Zahlen der Formen 2^{a}5^{b} oder 3^{a}5^{b}. Die entstehende Zahl darf keine Null, und auch nicht gleichzeitig eine gerade Ziffer und eine 3 besitzen. Maximales a+b, bei dem das 0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 65. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit a + b ≤ 50000. Nötig waren nur 80 Stellen.

3. 5 p_{max}(7) = 8 ?

min(7, 0) = 0_{7} = 0, min(7, 1) = 10_{7} = 7, min(7, 2) = 24_{7} = 18, min(7, 3) = 36_{7} = 27, min(7, 4) = 245_{7} = 131, min(7, 5) = 4445_{7} = 1601, min(7, 6) = 44556_{7} = 11262, min(7, 7) = 5555555_{7} = 686285, min(7, 8) = (2 · 3^{3}4^{4}5^{12})_{S} = 28502779092075657

Untersucht werden müssen Zahlen der Formen 3^{a}4^{b}5^{c} oder 2·3^{a}4^{b}5^{c}. Die entstehende Zahl darf keine Null besitzen. Maximales a+b+c, bei dem das Kriterium nicht zugetroffen hat war, 124. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit a + b + c ≤ 1000. Nötig waren nur 144 Stellen.

3. 6 p_{max}(8) = 6 ?

min(8, 0) = 0_{8} = 0, min(8, 1) = 10_{8} = 8, min(8, 2) = 24_{8} = 20, min(8, 3) = 37_{8} = 31, min(8, 4) = 256_{8} = 174, min(8, 5) = 2777_{8} = 1535, min(8, 6) = (3^{3}5^{4}7^{2})_{S} = 57596799

Untersucht werden müssen Zahlen der Formen 3^{a}5^{b}7^{c}, 2 · 3^{a}5^{b}7^{c} oder 3^{a}4 · 5^{b}7^{c}. Die entstehende Zahl darf keine Null, und höchstens 2 gerade Ziffern besitzen. Maximales a + b + c, bei dem das 0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 139. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit a + b ≤ 1000. Nötig waren nur 35 Stellen.

3. 7 p_{max}(9) = 7 ?

min(9, 0) = 0_{9} = 0, min(9, 1) = 10_{9} = 9, min(9, 2) = 25_{9} = 23, min(9, 3) = 38_{9} = 35, min(9, 4) = 57_{9} = 52, min(9, 5) = 477_{9} = 394, min(9, 6) = 45788_{9} = 30536 min(9, 7) = 2577777_{9} = 1409794

Untersucht werden müssen Zahlen der Formen 5^{a}7^{b}8^{c}, 2 · 5^{a}7^{b}8^{c}, 3 · 5^{a}7^{b}8^{c}, 4 · 5^{a}7^{b}8^{c} oder 2 · 5^{a} · 67^{b}8^{c}. Die entstehende Zahl darf keine Null, und höchstens eine durch 3 teilbare Ziffer (3,6) besitzen. Maximales a + b + c, bei dem das 0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 152. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit a + b + c ≤ 1000. Nötig waren nur 60 Stellen.

3. 8 p_{max}(10) = 11 ?

min(10, 0) = 0, min(10, 1) = 10, min(10, 2) = 25, min(10, 3) = 39, min(10, 4) = 77, min(10, 5) = 679, min(10, 6) = 6788, min(10, 7) = 68889, min(10, 8) = 2677889, min(10, 9) = 26888999, min(10, 10) = 3778888999, min(10, 11) = (2^{1}7^{6}8^{6}9^{2})_{S}

In [1] wurde die Vermutung für alle n < 10^{50} gezeigt. Untersucht werden müssen Zahlen der Formen 7^{a}8^{b}9^{c}, 2 · 7^{a}8^{b}9^{c}, 3 · 7^{a}8^{b}9^{c}, 4 · 7^{a}8^{b}9^{c}, 2 · 6 · 7^{a}8^{b}9^{c}, 5^{a}7^{b}9^{c} oder 3·5^{a}7^{b}9^{c} . Die entstehende Zahl darf keine Null, und nicht gleichzeitig eine gerade Ziffer und eine 5 besitzen. Maximales a+b+c, bei dem das 0er-Kriterium nicht zugetroffen hat, war 155. Untersucht wurden alle Zahlen der Formen mit a + b + c ≤ 3000. Nötig waren nur 115 Stellen.

4. Wachstum von p_{max}(b)

Basis  Beispiel  p_{max}(b)
2  10  1
3  2^{3}  3
4  3^{3}  3
5  3^{2} ∗ 2^{40}  6
6  5^{1} ∗ 2^{7}  5
7  3^{44} ∗ 2^{1}  8
8  7^{2} ∗ 5^{4} ∗ 3^{3}  6
9  7^{1} ∗ 5^{1} ∗ 2^{24}  7
10  7^{5} ∗ 3^{20} ∗ 2^{4}  11
11  5^{23} ∗ 3^{11} ∗ 2^{23}  12
12  11^{9} ∗ 5^{8} ∗ 2^{5}  7
13 11^{9} ∗ 7^{17} ∗ 5^{7} ∗ 3^{16}  14
14  11^{1} ∗ 3^{18} ∗ 2^{32}  12
15  13^{1} ∗ 11^{5} ∗ 7^{14}  14
16  7^{3} ∗ 5^{2} ∗ 3^{7}  8
17  13^{14} ∗ 5^{90} ∗ 2^{44}  17
18  17^{1} ∗ 5^{6} ∗ 2^{6}  10
19 7^{6} ∗ 5^{59} ∗ 3^{11} ∗ 2^{69}  18
20  13^{2} ∗ 11^{7} ∗ 3^{1}  12
21  19^{6} ∗ 5^{1} ∗ 3^{22}  14
22  13^{3} ∗ 5^{13} ∗ 3^{21}  14
23 7^{15} ∗ 5^{18} ∗ 3^{46} ∗ 2^{7}  19
24  19^{3} ∗ 5^{1} ∗ 2^{14}  10
25  3^{15} ∗ 2^{24}  14

Basis  Beispiel  p_{max}(b)
26  17^{4} ∗ 3^{77} ∗ 2^{26}  18
27  19^{2} ∗ 11^{4} ∗ 7^{8}  12
28  5^{13} ∗ 3^{8} ∗ 2^{31}  16
29 23^{12} ∗ 11^{40} ∗ 2^{77}  24
30  7^{2} ∗ 3^{12} ∗ 2^{13}  13
31  11^{118} ∗ 5^{2} ∗ 2^{18}  22
32  7^{4} ∗ 3^{6}  11
33  7^{9} ∗ 3^{49} ∗ 2^{65}  17
34  31^{2} ∗ 19^{35} ∗ 3^{34}  20
35  19^{15} ∗ 5^{6} ∗ 2^{4}  16
36  23^{5} ∗ 19^{3} ∗ 11^{3}  12
37  13^{97} ∗ 11^{6} ∗ 2^{40}  24
38 37^{22} ∗ 13^{45} ∗ 2^{46}  22
39  5^{4} ∗ 3^{28} ∗ 2^{69}  19
64  17^{3} ∗ 5^{12}  13
81  11^{9} ∗ 5^{3} ∗ 2^{6}  15
125  7^{3} ∗ 3^{10} ∗ 2^{62}  19
128  11^{3} ∗ 5^{6} ∗ 2^{1}  14
243  13^{3} ∗ 3^{1} ∗ 2^{50}  19
256  11^{2} ∗ 7^{6} ∗ 5^{2}  15
512  11^{6} ∗ 7^{8} ∗ 3^{9}  16
625 11^{10} ∗ 3^{20} ∗ 2^{28}  24
729  13^{18} ∗ 7^{4} ∗ 2^{7}  21
1024  5^{5} ∗ 3^{16}  18

Die Tabelle zeigt einen Zusammenhang zwischen p_{max}(b) und der Anzahl der Primfaktoren von b. Primzahlen erhalten im Vergleich die höheren Werte. Dies steht in einem gewissen Gegensatz zu (3), da dort gerade für Primzahlen nur sehr schlechte untere Schranken gegeben werden, die obige Tabelle aber zeigt, daß die unteren Schranken höher als bei zusammengesetzten Zahlen liegen

5. Danksagungen

6. Literaturverzeichnis

[1] N.J.A. Sloane, The persistence of a number, J. Recreational Math. 6(1973), 97-98

[2] Mark R. Diamond, Daniel D. Reidpath, A counterexample to a conjucture of Sloane and Erdös, J. Recreational Math. 1998 29(2), 89-92 [3] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd Edition, 1994 [4] N.J.A. Sloane (2001), The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, published electronically at http://www.research.att.com/ njas/sequences/.